Ο Δρ. Αργύρης Αργυρίου σπούδασε Ιατρική στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης όπου και συνέχισε αποκτώντας την ειδικότητα της Παιδιατρικής.  Η ιατρική του εκπαίδευση συνεχίστηκε στο Ιατρικό Τμήμα Λοιμωδών Νόσων του Παιδιατρικού Νοσοκομείου Αγία Άννα Βιέννης, στο Τμήμα Παιδιατρικής Καρδιολογίας της Πανεπιστημιακής Κλινικής Βιέννης, στο Τμήμα Νεογνολογίας και Συγγενών Ανωμαλιών και στη Μονάδα Εντατικής Παρακολούθησης Νεογνών της Πανεπιστημιακής Κλινικής Βιέννης.

Από το 1999 εξασκεί την Παιδιατρική στο ιδιωτικό του ιατρείο στη Λεμεσό.

Υπήρξε μέλος του Διοικητικού Συμβουλίου της Παιδιατρικής Εταιρείας Κύπρου και της Εταιρείας Περιγεννητικής Ιατρικής Κύπρου.

Είναι μέλος του Διοικητικού Συμβουλίου του Ιδρύματος Θεοτόκος και  μέλος του Διοικητικού Συμβουλίου της Κλινικής Λόγου Ομιλίας και Ακοής του Ευρωπαϊκού Πανεπιστημίου Κύπρου.

Από το 2006 είναι Πρόεδρος του Διοικητικού Συμβουλίου του Κέντρου Προληπτικής Παιδιατρικής, του αποκλειστικού φορέα των εθνικών ανιχνευτικών προγραμμάτων στην Κύπρο.